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Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié au hasard. Elle peut être répétée dans des conditions identiques et les résultats ne sont pas prévisibles.
On appelle issue ou éventualité le résultat possible d’une expérience aléatoire. L’ensemble des issues ou éventualités est appelé Univers, que l’on note Ω (Oméga en grec) Exemple : Lorsque l’on jette un dé, l’univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
On appelle événement l’ensemble constitué d’un certain nombre d’issues d’une expérience aléatoire. Exemple : I est l’événement « Obtenir un chiffre impair ».
On appelle échantillon de taille 50, le fait d’avoir lancer 50 fois la pièce de monnaie. La fréquence d’obtenir « PILE » est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles.
II) Évaluer une probabilité (rappels) :
La probabilité d’une issue est la valeur vers laquelle la fréquence se stabilise. Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.
On a une situation d’équiprobabilité quand les n événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité d’être réalisés. La probabilité de chaque événement élémentaire est p = 1 / n .
III) Propriétés des probabilités :
1) Réunion et intersection d’événements :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. L’univers est l’ensemble des 32 cartes du jeu. On s’intéresse aux événements : – A : « La carte tirée est un as » L’événement A est constitué de 4 événements élémentaires : As de pique, As de trèfle, As de carreau et As de cœur – B : « La carte tirée est un cœur » L’événement B est constitué de 8 événements élémentaires : Tous les cœurs, du sept à l’as.
La réunion de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A ou l’événement B. On note A ⋃ B et on lit « A union B »
L’événement A ⋃ B correspond à l’événement : « La carte tirée est un as ou un cœur ».
L’intersection de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A et l’événement B. On note A ⋂ B et on lit « A inter B »
L’événement A ⋂ B correspond à l’événement : « La carte tirée est un as de cœur ».
On considère l’événement C : « La carte tirée est un valet. »
Les événements A et C sont incompatibles car la carte tirée ne peut être à la fois un as et un valet. Deux événements sont contraires si : – Ils n’ont aucun résultat en commun. – La réunion de leur résultat forme l’univers. On note A l’événement contraire de A. On lit « A barre ».
A et A sont des évènements complémentaires. A ⋂ A = ∅ et A ⋃ A = Ω.
Dans le cas présent, l’événement A est : « La carte tirée n’est pas un as .»
3) Propriétés des probabilités :
Soient deux événements A et B, A est l’événement contraire de A.
Si on souhaite calculer la probabilité p(A⋃B), c’est-à-dire la carte tirée est un as ou un cœur, on ne peut pas se contenter d’additionner les deux probabilités p(A) + p(B). En effet l’issue « as de cœur » apparaitrait deux fois.
p(A) = 1 – p(A) p(A⋃B) = p(A) + p(B) – p(A⋂B) Si A et B sont incompatibles, alors P(A⋂B) = 0 et p(A⋃B) = p(A) + p(B).
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